電磁誘導と電磁波

電磁誘導

ファラデーの電磁誘導の法則

コイル(回路)に磁石を近づけたり、 定磁場でコイルを動かすと電流が誘起される。

磁場Bに対して長さLの銅線を動かすとき、銅線中の電子は ローレンツ力-evBを受けるが、これは銅線内に生じる仮想誘導電場Eからの 力-eEとみなすこともできる。従って、ローレンツ力が 生み出す電位差すなわち誘導起電力はΔV=EL=vBLとなる。

電流を流すため、銅線の両端を回路で接続するとvLはこの閉回路の 面積Sの変化に等しく、誘導起電力の大きさは閉回路を貫く 磁束Φ=BSの変化率に等しいことがわかる。

一般に任意の閉回路をつらぬく磁束が変化するときV=-dΦ/dtで 与えられる誘導起電力が生じる。

レンツの法則

電磁誘導で流れる電流の向きは、電磁誘導の原因となった 磁場の変化を打ち消すように決まる。

相互誘導と自己誘導

相互誘導

コイル1を流れる電流I₁によってコイル2を貫く 磁束Φ₂=MI₁が生まれる。 I₁が変化すると、ファラデーの法則により コイル2に誘導起電力V₂=-dΦ₂/dt=-M(dI₁/dt) が生じる。比例定数Mを相互インダクタンスと呼び、コイル1と2の巻き数の積に比例する。

自己誘導

コイルを流れる電流Iによって自分自身を貫く 磁束Φ=LIが生まれる。 Iが変化すると、ファラデーの法則により コイルに誘導起電力V=-dΦ/dt=-L(dI/dt) が生じる。比例定数Lを相互インダクタンスと呼び、コイル巻き数の２乗に比例する。

交流

交流起電力

商用の発電機ではコイルを貫く磁束を（静磁場内でコイルを回転させたり、 コイルの周りに電磁石で回転磁場を作ったりして） 変化させる。
Φ=Φ₀cos(ωt)
このとき、電磁誘導によって 起電力(あるいは電圧)V=Φ₀ωcos(ωt)=V₀cos(ωt) が生じる。日本では一般家庭においてピーク電圧が141ボルトとなるように定められている。 また、周波数f=2π/ωは西日本で60ヘルツ、東日本で50ヘルツである。

力率

交流起電力V=V₀cos(ωt)の元で流れる電流は一般に I=I₀cos(ωt-φ), 消費電力の時間平均は
⟨IV⟩=(I₀V₀/2)cos φ
cos φを力率と呼び、これが0となる時は電力の消費はない。(無効電流)

実効値

交流の電圧および電流の振幅の1/√2=0.7倍の値。 実効値で考えると抵抗に関するオームの法則および電力の計算は交流でも同じ形になる。

LCR直列回路

コイル(V=L(dI/dt))、抵抗(V=RI)、コンデンサ(V=q/C=(-1/C)∫Idt)を直列につないだもの。 電流I（あるいはコンデンサの電荷q）は交流電源V=V₀cos(ωt)の下で、 強制振動と同様の微分方程式 を満たす。その定常解はインピーダンス
Z=(R²+(Lω-1/Cω)²)^0.5
および、位相差 φ=tan^-1((Lω-1/Cω)/R)
で与えられるI=(V₀/Z)cos(ωt-φ) となる。 （抵抗が大きすぎると電流は指数関数的にゼロになる。）

電気振動

LCR直列回路

抵抗が極端に大きくなければ、交流起電力のないLCR回路は減衰振動と同様の微分方程式 を満たす。その解は、初期条件で決まる振幅Aと初期位相δを用いて
q=Aexp(-αt)cos(ωt+δ), &alpha=R/2L, &omega=(1/LC-R²/4L²)^0.5

特に抵抗が無い時は&omega=(1/LC)^0.5の自励振動になる。

同調回路

回路2は電源のないLCR直列回路で、相互インダクタンスMにより回路1と結合していると する。回路1に電流I₁=I₁₀cos(ωt)が流れている時、 回路2にとっては-M(dI₁/dt)=MI₁₀ωsin(ωt) という交流電源が追加されたとみなすことができる。このときの定常解は
I₂=I₂₀cos(ωt-φ), I₂₀=MI₁₀ω/Z, φ=cot^-1((Lω-1/Cω)/R)=cot^-1((Lω-1/Cω)/R)

通常、キャパシターの容量Cは容易に変えることができるのでC=1/Lω²と して、回路2の電流(の実効値)を 最大化する事ができる。

変位(電束)電流

キャパシターの電極間には本来電流が無い(I=0)ので、これを囲む閉曲線C₁に沿った 磁場(の積分)はアンペールの法則より0にならないといけない。しかし、キャパシターに 接続された導線を囲む閉曲線C₁に沿っては、電流(ただし、交流などの時間変動する 電流)が流れるため有限の磁場が存在する。

キャパシター間には、電極の電荷の面密度に等しい電束密度(D=εE=σ)が形成されている。 キャパシターに時間変動する電流が流れ込むと電極の電荷量も変化し、これはDを面積分した 電束の変化に等しい。

時間的に変化する電場の内部では電場方向に(d/dt)∫∫D⋅dSの大きさの 変位電流が流れているとみなす。これによりアンペールの法則を交流も含めた形で 拡張できる。
∫_C H⋅dr =I+(d/dt)∫∫_SD⋅dS
ただし、面Sは閉曲線Cが囲む面である。

マックスウエルの方程式

ガウスの法則(電場)

真電荷は電束密度の湧き出しである。
∫∫_S D⋅n dS = ∫∫∫_Vρ dV
∇⋅D=ρ

ファラデー電磁誘導の法則

磁場(磁束)の変化は渦状の電場をつくる。
∫_C E⋅dr =-(d/dt)∫∫_SB⋅dS
∇×E=-∂B/∂t

ガウスの法則(磁場)

磁束密度には湧き出しが無い。
∫∫_S B⋅n dS = 0
∇⋅B=0

アンペールの法則

真電流および電束の変化は渦状の磁場を作る。
∫_C H⋅dr =I+(d/dt)∫∫_SD⋅dS
∇×H=i+∂D/∂t

電磁波

マックスウエルが理論的に存在を予言し、ヘルツが実験的に確認した、 電場と磁場の変化が絡み合って伝わる波。

真空中のマックスウエルの方程式は
∇⋅E=0 , ∇×E=-μ₀∂H/∂t , ∇⋅H=0 , ∇×H=ε₀∂E/∂t
z方向に伝わる平面波（全ての量はtとzだけの関数でxとyには依存しない）を考えると
∂E_z/∂z=0 ,
0=-μ₀∂H_z/∂t, -∂E_y/∂z=-μ₀∂H_x/∂t, ∂E_x/∂z=-μ₀∂H_y/∂t, ,
∂H_z/∂z=0 ,
0=ε₀∂E_z/∂t, -∂H_y/∂z=ε₀∂E_x/∂t, ∂H_x/∂z=ε₀∂E_y/∂t,
従って、E_z=0かつH_z=0は自明（波は進行方向に成分を持たない横波）。
電場の方向をx軸とするとE_ｙ=0よりH_x=0、すなわち磁場はy方向にのみ 成分を持つ。
電場および磁場は速さc₀=1/√(ε₀μ₀) で伝わる波動方程式 ∂²f/∂t²=c₀²∂²f/∂z² の解になっている。（t-z/c₀の任意関数で表される。）
c₀が光速の測定値と一致したことから、光もまた電磁波の一種であることが 示された。
E_x=E₀cos ω (t-z/c₀)とおくと
H_y=H₀cos ω (t-z/c₀)で、 H₀/E₀=√(ε₀/μ₀)

光の反射と屈折

屈折率

誘電率εの透明物質の屈折率は n=1/√(ε/ε₀) で1より大きな値を取り、そのような物質の内部での光速はc=c₀/nと 真空中での値より小さくなる。（そのため高エネルギーの放射線がチェレンコフ光を発する。）
プラズマや金属(一種の電子プラズマ)の 誘電率は振動数に依存するため分散現象が起こる。(例、ホイスラー波）

界面における境界条件

電束密度Dおよび磁束密度Bの法線成分は連続。
電場Eおよび磁場Hの接線成分は連続。

反射率

入射波に対する反射波のエネルギーの比。波のエネルギーは 振幅の2乗に比例するので反射係数の2乗に等しい。

反射率

x-y平面(z=0)を境に接している媒質1と2があり、媒質1からz軸に平行に 振幅(E₁₀,H₁₀=E₁₀√(ε₁/μ₁)) の電磁波が入射し、反射波(E'₁₀,H'₁₀)と 透過波(E₂₀,H₂₀)に分かれている。
電場Eおよび磁場Hの接線成分の連続性より、
E₁₀+E'₁₀=E₂₀, H₁₀-H'₁₀=H₂₀,
これから反射波の振幅を表す反射係数は
E'₁₀/E₁₀=H'₁₀/H₁₀ =(√(ε₁/μ₁)-√(ε₂/μ₂)) /(√(ε₁/μ₁)+√(ε₂/μ₂))
多くの場合(強磁性体を除いて)、媒質中の透磁率は真空中とほとんど変わらないので
E'₁₀/E₁₀=H'₁₀/H₁₀ =(n₁-n₂)/(n₁+n₂)
従って、n₁<n₂の場合(空中から水中に光が入射する場合など)、 反射波の振幅は逆符号(位相がπずれる)で自由端での反射に相当する。

媒質1からz軸に斜めに(入射角i)で入射し、電場が入射面(x-z平面)内にあるとする。(TM波) (もし、μ₁ ≠ μ₂なら、H₂₀=0が 直ちに導かれ、波は完全反射する。)
境界面での波の位相(波の伝播ベクトルと境界の法線ベクトルの外積)が同じで無ければ ならない。入射波と反射波のこの関係から反射の法則(反射角i'=i)、入射波と透過波の 関係からスネルの法則(屈折角rに対し、 sin i/sin r = √(ε₂μ₂ε₁/μ₁) =n₂/n₁ =c₁/c₂ )が導かれる。
反射係数は、鉛直入射の式でz方向成分のみを考えることにより、
E'₁₀/E₁₀=H'₁₀/H₁₀ =(√(ε₂/μ₂)cos i-√(ε₁/μ₁)cos r) /(√(ε₂/μ₂)cos i+√(ε₁/μ₁)cos r)
μ₁ = μ₂とスネルの法則より
E'₁₀/E₁₀=H'₁₀/H₁₀ =(sin i cos i-sin r cos r)/(sin i cos i+sin r cos r)=tan(i-r)/tan(i+r)
従って、i+r=π/2を満たす向きから入射された電磁波の反射は0になる。(ブリュースターの法則)

これに対して、磁場が入射面(x-z平面)内にある(TE波)場合は、磁場と電場の文字を入れ替えることにより、
E'₁₀/E₁₀=H'₁₀/H₁₀ =(√(μ₂/ε₂)cos i-√(μ₁/ε₁)cos r) /(√(μ₂/ε₂)cos i+√(μ₁/ε₁)cos r) =(sin r cos i-sin i cos r)/(sin r cos i+sin i cos r)=sin(i-r)/sin(i+r)
この場合は反射が0になることは無い。(i=rとなるのは、n₁=n₂つまり 媒質に変化が無いときのみ。)