イオン幾何光学

電磁界中での荷電粒子の運動方程式

さてマックスウェルの電磁方程式は

rot → E   = - ∂ → B   ∂t (電磁誘導の関係), div → B   = 0 (磁荷なしの表示), → D   = ε → E   (電気変位の定義)

(8.1)

rot → H   = ∂ → D   ∂t + → i   (電流と磁界の関係), div → D   = σ(電荷と電気変位), → B   = μ → H   (磁束の定義)

(8.2)

と表わすことができる。 とくに真空中で電磁界の作用下にイオンが運動するとき

ε = ε0, μ = μ0, → i   =0, σ = 0

(8.3)

とみなすことができる。 さらにイオンの運動に比べて電界や磁界が極めてゆっくりと 変動するばあいは

∂ → B   ∂t = 0, ∂ → D   ∂t = 0

(8.4)

として取り扱ってよい。

荷電粒子の運動は相対論的な運動方程式で決定されます。 荷電粒子に対するローレンツの運動方程式は

d dt (m → v   ) = e → E   + e → v   × → B

(8.5)

ただし、 m = [(m₀)/(√{1-v²/c²})] である。ここで m₀は粒子の静止質量、cは光速度である。 (8.5)式を直角座標および円柱座標で表わすと

d dt (m • x   ) = e Ex + e • y   Bz - e ラ z   By (8.6) d dt (m • y   ) = e Ey + e • z   Bx - e • x   Bz d dt (m • z   ) = e Ez + e • x   By - e • y   Bx

[x\•]=[dx/dt], ... および

d dt (m • r   ) - mr • θ   2   = e Er + er • θ   Bz - e • z   Bθ (8.7) 1 r d dt (m r2 • θ   ) = e Eθ + e • z   Br - e • r   Bz d dt (m • z   ) = e Ez + e • r   Bθ - er • θ   Br

となる。特に (8.7)式は円形加速器や電界、磁界によるイオンビームの 偏向、集束に極めて重要な関係である。

軸対称不均一磁界中でのイオン運動

いまr=r₀+ρ,ρ << r₀とおくとき

Bz=B0 ( r r0 )-n ≅ B0 (1- n ρ r0 )

(8.10)

である。z=0面上で考え、 (8.7)式の第2式にこれらを入れて

d dt { (r0+ρ)2 • θ   } = ω(r0+ρ) (1- n ρ r0 ) d ρ dt

をえるから、積分して (r₀+ρ)² [(θ)\dot] ≅ ωr₀ ρ+const となる。 (8.8)式より r₀²[(θ)\•]=r₀² ω = const となることから、結局

•• θ   = r0 r0+ρ ω

(8.11)

との関係が導かれる。すなわち ₀の外側(r > 0)を 廻るイオンの角速度は減ることを示す。 これらと (8.7)式の第1式に入れて

光学レンズとの対応

まず両式とも振動式であるから、その解は

ρ = A sin √   1-n   (θ-a)

z = B sin√n (θ-b)

の形になる。ここで、A,B,a,b はイオンの初期条件で決まる定数である。 いま、磁界が Θの開き角度をもっており、イオンの出発点が 磁界端よりp₀の位置Pであるとする。 磁界中で曲げられたイオンは、出口の磁界端より q_r,q_zの点Q_r,Q_z の位置に集まるとする。そして一般に q_r ≠ q_z である。

r方向について考えると、 第8.1図(a)を参照して

p0=ρ/( d ρ d θ )|θ = 0 = A sin √   1-n   (θ-a) √   1-n   A cos √   1-n   (θ-a) |θ = 0 = - 1 √ 1-n tan √   1-n   a

qr=ρ/( d ρ d θ )|θ = Θ = 1 √ 1-n tan √   1-n   (Θ-a)

となるから、これらから a を消去して

tan{ √   1-n   Θ+ tan-1 √   1-n   p0 }+ √   1-n   qr = 0

(8.16)

をえる。ここで

√   1-n   Θ = Φr, √   1-n   p0 = tanφ0, √   1-n   qr = tanφr

(8.17)

とおくとき

Φr + φ0 + φr = π

(8.18)

の関係をえる。z 方向についても同様に

tan{ √n Q+ tan-1 √n p0 }+√n qz = 0

(8.19)

Φz + φ0 + φz = π

(8.20)

となる。(8.18),(8.20) の関係を 拡張されたバーバー(Barbar)の法則という。 これは 上記のように、 Φ_r,z,φ₀, φ_r,z を求めるとき、これらの和がπと なることを意味する。 あるいは、(8.17)式に従って P→P', Q→Q' とするとき、 P'OQ'が一直線上にあることになる。 この法則はもともと n=0の一様磁界のとき見出されたが、 n ≠ 0 に も拡張できる。
もし、磁場が一様(n=0)ならば、イオンの出発点、扇領域の要(頂点)、 そしてビームの集束点が1直線に並ぶというのが本来のバーバーの法則の意味する所です。 磁場にr依存性を入れると、集束点の場所をr方向だけでなくz方向にも制御できます。 出発点を十分遠くにとった時の集束点が、この磁気レンズの焦点になります。

さて (8.16),(8.19)式で p₀ → ∞ の時のq_r, q_zは、それぞれr、z方向の 焦点Fの位置を示す。 これらを g_r, g_z とすると

gr= 1 √   1-n   tan √   1-n   Θ ,gz= 1 √ntan√n Θ

(8.21)

となる。従ってこの磁界は、工学的な肉厚レンズと同等となる。 そこで主平面Hから焦点Fまでの距離、すなわち焦点距離fはレンズ公式

(p-g)(q-g)=f2

(8.22)

に当てはめて

fr= 1 √   1-n   sin √   1-n   Θ ,fz= 1 √nsin√n Θ

(8.23)

となる。以後は全く光学レンズと同様に扱うことができるが、 一般にr、z方向で集束条件が異なる点に注意すべきであり、 n=[1/2]のときのみ一致する。また倍率Mと 分散Rは

M= f p-g ,R= 1+M 1-n

(8.24)

磁界を用いた分析器の例

n=0

1. p₀=q_r=0
   イオンの原点(光源)も集束点(像点)も磁界中にある場合で、 q = pとなる。すなわち 180 ^° のところで r 方向の集束が成立つのであり、 デンプスター(Dempster)がすでにb分析器として使用している。
2. Θ = [(π)/3]
   (8.16)式で [(√3+p₀)/(1-√3 p₀)] + q_r=0 となるが、もし p₀=q_rのときは
   

   p0=qr=√3

   (8.25)

   となり、 集束を示す。 これは 60 ^° 型のスペクトロメータとしてニアー (Nier) が質量 分析に使用している。

n=[1/2]

1. p₀=q_r=q_z=0
   (8.17),(8.18)両式より Θ = √2 π となる。この型はシーグバーン(Siegbahn)が β分析に使用している。 なおベータトロンでは0 < n < 1であったが、 今のばあいは丁度n=[1/2]であるので rとzの集束が合致する。
2. Θ = π
   このばあい、さらにq_r=q_zとすることが可能であり、 磁界の外に線源と検出器とを おくことができる。従ってβ- γの相関がとりやすく、 かつ明るいスペクトロメータとすることができる。

強集束の原理

第1、第2の磁界のn値をそれぞれ n₁、n₂と表わし、 n₁ > 1、n₂ < 0 とする。このとき (8.21),(8.23)両式から

g1r= -1 √   |1-n1|   tanh √   |1-n1|   Θ1 ,f1r= -1 √   |1-n1|   sinh √   |1-n1|   Θ1

(8.26)

g1z= 1 √   n1   tan √   n1   Θ1 ,f1z= 1 √   n1   sin √   n1   Θ1

(8.27)

.

(8.28)

g2r= 1 √   1-n2   tan √   1-n2   Θ2 ,f2r= 1 √   1-n2   sin √   1-n2   Θ2

(8.29)

g2z= -1 √   |n2|   tanh √   |n2|   Θ2 ,f2z= -1 √   |n2|   sinh √   |n2|   Θ2

(8.30)

の関係をえる。いま(g₁, f₁)と (g₂, f₂)の2つのレンズを lだけ離して組合わせるとしよう。

(p-g1)(p'-g1)=f12,(l-p'-g2)(q-g2)=f22,

(8.31)

が成り立つはずである。これから p' を消去すると

(p-G1)(q-G2)=F2

(8.32)

ただし

G1=g1- f12 g1+g2-l ,G2=g2- f22 g1+g2-l ,F= f1 f2 g1+g2-l

(8.33)

をえる。 (8.33)は組合わせレンズの関係を示しているが、 (8.26) ~ (8.30)式より f₁ f₂ < 0である。しかし、 g₁,g₂,lのとり方では g₁+g₂-l < 0となって、合成レンズの焦点距離 F > 0となりうる。

以上のことから、強集束、強発散の磁界をうまく組合わせると 全体として強集束となることがわかる。例えば

n1=16, n2=-15, Θ1=Θ2= p 16 , l = 0

のばあいを考えてみよう。

(g1z=0.250, f1z=0.354),(g2z=-0.403, f2z=-0.309)

であるから

g1+g2=-0.153, f1 f2=-0.109

となり

G1=1.069, G2=0.223, F=0.716

をえる。すなわち合成結果は集束になっている。 なおr方向についても同様に計算することができ、 最終的にG₁、G₂が逆になるが、 Fは同じ値となって、やはり集束である。

強集束シンクロトロン

いま N対の電磁石を円周上に 配列したとしよう。l = 0として、1個磁界(+または-)の開き角は

Θ = 2π 2N = π N

である。イオン・ビームは＋、−の磁界中を図のように 振動しながら進んで行くが、いまひとつの(+,-)対を考えるとき、 これに入射するときの光源位置pと、出射後に集束する位置(虚像)gがある。 このqは次の(+,-)対にとっての光源位置p'となっているから、 いつも集束であるためには

p > 0, q < 0, かつ p > |q|

でなくてはならない。すなわち

p+q > 0

(8.34)

が成立する。

一方(p-G₁)(q-G₂)=F²の関係を用いると (34)式は

p+q=p+ F2 p-G1 +G2 > 0

となる。p > G₁であることから、上の不等式は

p2-(G1-G2)p+F2-G1 G2 > 0

(8.35)

がpの実数値に対していつも成立することが 必要となる。そこで根の判別式より

(G1-G2)2 - 4 (F2-G1 G2) < 0

すなわち

4F2 > (G1+G2)2

(8.36)

あるいは

4f12 f22 > {(g1+g2)2-f12 -f22 }2

(8.37)

をえる。 (8.36)ないし(8.37)式が集束の条件である。

そこでこの条件に合うように N,n₁,n₂を決めればよいが、すぐわかるように (8.37)=0より4つの境界条件が求まるから、 結局この式を満たす範囲は ネクタイ状領域の中にある。そして ネクタイの中央が最も安定なところであり

|n|= N2 16

(8.38)

であることがわかる。例えばN=16のとき

n1 ≅ 16, n2 ≅ -16

という大きな|n|値の磁界を用いる必要がある。

実際問題としてl = 0とすることはできず、 必ず適当な電磁石間隔をおかねばならない。このとき、 (8.37)式の形が変わるけれども、 先の図と同様なネクタイ図が画かれる。 歪んだ形状となるがその中央を安定点として選べばよい。 この強集束シンクロトロンでは イオン軌道のr、z方向振幅が小さくなるため、 加速箱が小型化し、従って電磁石も小型でよいなど 利点が極めて多い。 現在のシンクロトロンはすべてこの型を採用している。

n値と磁極の形

いま 磁極面が θだけ傾いた直線状であって、磁力線が円弧の一部であったとする。 図より明らかに

r-a= z tanθ

(8.39)

であり、またその磁力線の長さlは

l = 2 (r-a) q

(8.40)

で与えられる。 一方r=r₀のとき z=hであることを用い、 (8.39)式より

r0-a r-a = h z

(8.41)

一方、磁力線に沿っての磁界をBとするとき、 B l = 一定=磁気ポテンシャル差となるが、 これは

四重極電磁石

このようなレンズを 共z軸で配置して組合わせレンズ とするとき、xz、yzの両面でともに集束となる。 従って直線状ダクト中を走るイオン・ビームを集束させるために 広く使われる。 これを 四極電磁石 (quadrupole electromagnet) 略してQ-電磁石という。なお磁極を双曲面に加工する ことは困難であるため、 内接円半径の1.16倍の半径をもつ円筒面で代用している。

四極電磁石(quadrupole magnet) は上のように直線的に走るイオン・ビームを集束させるのに 極めて便利であって、 ビーム・ダクト(beam duct) には不可欠なものになっている。

軸方向均一磁界による集束

(8.45)の関係を (8.44)の第1式に入れ、v=[dz/dt] の関係を用いるとき

d2 r dz2 + e2 B02 4m2 v2 r = 0

(8.46)

の微分方程式をえる。この解は

r = A sin( e B0 2m v z + δ)

(8.47)

の形をしているから、 z=[(2mvp)/(eB₀)] ×n (n=1,2,...) ごとに元に戻ることを示している。

以上のことから、イオン・ビームは |ω|=[(eB₀)/2m] の一定角速度で軸の周りを廻りつつ、ピッチ D=[(2mvπ)/(eB₀)] をもって何度も軸上に集束する。 すなわちこの磁界はイオンを軸附近に閉じ込める 性質があり、 イオン・ビームやプラズマの集束だけでなく、β線スペクトロメータ としてもよく用いられる。 Sはβ線源、Dは検出器であり、 途中にバッフルを入れて散乱β線の 混入を防ぐ。

電界による集束

時間的に定常な磁界があるとき、ここを通過するイオンの エネルギーは変わらず、ただ軌道が変わるだけである。 ところがイオンの進行方向に電界が存在するばあい、 加速ないし減速が起こって結局エネルギーが変わるという 特徴がある。そこでイオン(m,e) の出発点のポテンシャルΦをゼロにとって、 エネルギーKを

K = 1 2 mv2 = 1 2 mvz2 = eΦ(z)

(8.48)

と表わすことができる。 ただし、zはイオンの進行方向にとり、 v_z(=v)はイオン速度である。 さて、円筒座標(r,θ)を用い、動径rの方向に 電界-E_rが作用するときのイオンの運動方程式は

m d2 r dt2 = -e Er

(8.49)

(8.51)式を(8.49)式 に入れ、v=[dz/dt] を用いるとき

v d dz (v dr dz )= e 2m ∂Ez ∂z r

となる。 (8.48)式よりv=√{[(2eΦ)/m]} であり、また E_z=-[(∂Φ)/(∂z)] であることを用いて

√   Φ   d dz ( √   Φ   dr dz ) = - r 4 d2 Φ dz2

(8.52)

または

Φ d2 r dz2 + 1 2 dr dz d Φ dz + r 4 d2 Φ dz2 =0

(8.53)

とのイオン軌道式をえる。 (8.52)式は m、eを含まないから、ポテンシャルの原点が 同じイオンはすべて同じ軌道を画くことになる。 すなわち 電界だけの分析器では イオンの質量分析ができない ことを示している。

Φ = 一定(電界なし)または Φ = const ·r(一様電界) のばあい、 (8.52)式の右辺=0である。 もしイオンの出発点で[dr/dz]=0 つまり軸に平行に走るイオンの軌道は いつも[dr/dz]=0 となって集束しない。従って Φ(z)がzの2次以上の変化をするとき、 始めて軌道が曲がることがわかる。 このような Φ(z)の急変場所を 電気レンズ(electric lens) という。

いま r=r_aで軸に平行なイオンがレンズに入射したとする。 このとき (8.52)式は

√   Φ   dr dz =- ra 4 ∫ z -∞  Φ" √ Φ dz

である。 z=-∞で d[dr/dz]=0,Φ = Φ₁ 、また z=+∞ではΦ = Φ₂ である。そこで上式の積分上限を +∞

dr dz =- ra 4 √ F2 ∫ ∞ -∞  Φ" √ Φ dz

をえる。焦点距離f=-r_a/([dr/dz])で あることを用いると

1 f = 1 4 √ Φ2 ∫ ∞ -∞  Φ" √ Φ dz = 1 8 √ Φ2 ∫ ∞ -∞  Φ" √ Φ3 dz

軌道が 前述の式の形のとき、 イオンが集束されるであろうことはすでに知っている。 そこでこのレンズの焦点距離を求めてみる。 ここでΦ ~ F₀ ~ Φ₂であるから

1 f = 1 4 √ Φ0 ∫ a -a  2 k dz = ka Φ0 = 1 a ka2 Φ0 だから f=a Φ0 ka2

となる。上式より

aが小さいほど、またポテンシャルの変化が大きいほど短いfのレンズができる

との重要な結論が得られる。例えばa=3cm、 [(Φ₀)/(ka²)]=5のときf=5cmとなる。

電気レンズの実際

1. ブラウン管での電子ビームの集束
2. イオン源からのイオン・ビームの引出しの時における集束
3. 加速管におけるイオン・ビームや電子ビームの集束
4. 短い焦点距離をもたせた電気レンズによる電子顕微鏡

これら はいずれもイオンや電子のビーム集束に用いられる 電気レンズである。(a)は2つの円筒を共軸に並べたもので、その間隙部に レンズ作用が生ずるが、構造が簡単であるのでブラウン管の電子ビーム 集束や直流加速管でのイオンビーム集束に広く用いられる。 サイクロトロンのディー間での集束もこの原理である。 (b)は電子やイオンを左側から引き出すとともに強く集束させることを 考えており、電子銃あるいはイオン源からのイオンの取り出しに 使われる。 (c)は極めて短い焦点距離のレンズを作るばあいであり、 以前は電気顕微鏡によく用いられたが、今はこの原理がイオン・ ビーム集束に使われる程度である。

以上の電気レンズは代表的なものだけを示したものであり、 実際にはこれらを変形して 集束性のよいものが多数作られ、実用になっている。 どの場合も軸上ポテンシャルΦ(z)の正しい形がわかれば (8.52)式によって軌道計算ができ、 また焦点距離を求めることができる。 例えば (a)のとき、 円筒半径をともにp、間隔を2gとするとき

f ~ Φ2 (Φ1+Φ2) (Φ2-Φ1)2 p2+g2 p π

となる。

対称な双曲線面で囲まれた空間では

Ex=k x, Ey=-k y

(8.56)

の電界ができる。従ってイオン(m,e)の軌道方程式は 磁界 の場合と同様に

d2 x dt2 - ek mv2 x=0, d2 y dt2 + ek mv2 y=0,

(8.57)

となり、一方が強集束なら他方は強発散となる。 いまα²=[ek/(mv²)]とおくとき

gx= -1 α tanhαL ,fx= -1 α sinhαL

(8.58)

gy= 1 α tanαL ,fy= 1 α sinαL

(8.59)

が与えられる。ただしLはこの電界のz方向の有効長である。 なお電極電圧をV、内接円半径をaとするとき

V = ∫ a 0  Ex dxより V= 1 2 ka2 だから k= 2V a2

(8.60)

である。

(8.60)、(8.61)両式 で電気四極レンズのg、f値がそれぞれきまったので、 これらを組合わせるとき、合成レンズのG、F値が求まり、 従ってイオン・ビームの集束状況がわかる。 エネルギーの低いイオンビームの集束によく用いられる。