線型加速器

これまで見て来た直流高圧を発生させて加速する方法では、 発生電圧に限度があり、従って 荷電粒子のエネルギーに限界がありました。 高周波電圧によってくり返し加速エネルギーを追加していく方式が考えられ、 1920年代にヴィデレー (Wideröe) によって提案されていました。

原理

陽子やそれ以上の重粒子

: 低い周波数

電子

: 高い周波数

1931年にスローン(Sloan)は 円筒電極を共軸に並べた加速器を つくり、2つおきの各電極に高周波電圧を加えた。このとき 軸上を走る粒子が電極間でいつも加速されるためには、各段 粒子速度v_iと電極l_iとの間に

l1 v1 = l2 v2 =... li vi =... T 2 = 1 2f

(4.2)

の関係がなくてはならぬ。ここでfは高周波の周波数、 Tはその周期である。もし高周波のピーク電圧E₀を うまく選ぶならば、荷電粒子は[1/2]周期ごとに 電極間に現れて (4.2)式をみたす速度vをもつことになり、 くり返し加速が行なわれる。

スローンはf=7MHz、E₀ ~ 40kV、 電極数30として水銀イオンHg⁺ を加速し、K=1.26MeVをえた。このとき l は平均7cmであったから、結局約2mの加速管と なった。これが 線型加速器 (linear accelerator) の始まりである。

水銀イオン ~ 1MeVでは到底核反応は起こらない。 望ましいのは軽いイオンであるが、仮に陽子とすると 平均 l ~ 100cmとなり、全長約30mの長大な加速器となる。 l を短くするにはfを高くすればよいが、当時 数10 ~ 100MHzの強力な発振管がなく、 従ってスローンはやむなくf=7MHz に相応しいHg⁺イオンを選んだ。 その後10年たってこの周波数領域の強力発振管が 実用化されたので、 アルバレー (Alvarez) が f=200MHzの空洞共振式の陽子線型加速器を 1946年に完成した。

スローンの線型加速器は核反応実験に使えなかったので 一時見送られていたが、始めて 重イオン (heavy ion) を加速した点で大きな意義があった。1970年代に 入って重イオン加速の重要性が認識されるとともに、 再びスローン方式が登場し、多くの加速器に採用される ようになった。

線型加速器を大別すると

1. ヴィデレーまたはスローン方式: 数10MHz、重いイオンを加速
2. アルバレー方式: 100 ~ 400MHz、軽、重イオンを加速
3. 導波管内の定在、進行波方式: 3000MHz、電子を加速
4. 特殊な空洞共振方式: 数100MHz、軽、重イオンを加速

導波管内の電磁波

電気量の存在しない空間での マックスウエル (Maxwell)の電磁方程式は

rot → E   = - ∂ → B   ∂t (磁気誘導), div → B   = 0 (磁荷なし), → D   = ε → E   (電気変位)

(4.3)

(4.3)と (4.3)式より

rot ·rot → E   = rot(- ∂ → B   ∂t ) = -μ ∂ ∂t (rot → H   ) = -εμ ∂2 → E   ∂t2

であるが、一方

rot ·rot → E   = grad div → E   - ∇2 → E   = - ∇2 → E

であるから

∇2 → E   = εμ ∂2 → E   ∂t2

(4.6)

との波動の式をえる。 Hベクトル についても全く同様な式が 導かれるが、これらは空間における電磁波の様相を与えている。 いまこの波動を

→ E   = → E0   exp(jωt - γz)

(4.7)

の形で表わす。これは角周波数が ω(=2πf) でz方向に進行する波の一般形である。ところで

∂2 → E   ∂t2 = ∂ ∂t ( ∂ → E   ∂t ) = jω ∂ カt { → E0   exp(jωt - γz) } = - ω2 → E0   exp(jωt - γz) = - ω2 → E

であるから、 (4.6)式は時間tが表に出ない形

∇2 → E   + ω2 εμ ョ E   = 0

(4.8)

となる。 従って適当な境界条件のもとに (4.8)式の 定常状態の解を求める問題となる。

ここで円柱座標を用い、断面が円の導波管の中でTM波を 解いてみよう。円柱座標のときのラプラシアンは

∇2 = 1 r ∂ ∂r (r ∂ ∂r )+ 1 r2 ∂2 ∂θ2 + ∂2 ∂z2

であるから、 E_z = E_z0 exp(jωt - γz) として(4.8)式に入れると

∂2 Ez ∂z2 = γ2 Ez

(4.9)

一方(4.10)式は、電界E_zがどのようなr;θの 関数形になるかを与えるのであり、当然いろいろな形が予想される。 これを次節で求めよう。

円形導波管

最も簡単なモードはn=0, l = 1であり、さらにz方向に 対してγ = 0のときである。 γ = 0とはv_p=∞ つまり定在波であり、 これを TM₀₁₀モードという。 そしてこのモードができるのは

k2 = ( Pnl a )2 = ω2 εμ

(4.19)

が成立するωであるときに限られる。 言い換えると、与えられた半径aの空洞があるとき、 ちょうど(4.19)式を満たすω のところでのみ TM₀₁₀モード の共振が起こることを意味する。 ところで自由空間でのこの電波の波長をλとすると(空間波長)

λ = c f , c= 1 √ εμ ,ω = 2πf

の関係があるから、 TM₀₁₀モード が生ずるときのλ_c, f_cは(4.19)式より

λc = c fc = 2πa P01 = 2πa 2.405

(4.20)

でなければならない。例えば

a=5 mのとき、λc = 1.306 m, fc = 229.7 MHz

となる。このとき、 z軸上に最も強い電界が管内に一様に成長する。

さて円形導波管に対して λを次第に短くしながら電波を入れてみよう。 (4.13)式を 書き換えると

( 2π λc )2 = ( 2π λ )2 + γ2

(4.21)

であるから、もしλ > λ_cの時はγ = 実数となり、 このような電波は管内で減衰して奥に伝わらない。 逆にλ < λ_cのときは γ = jβ = jω/v_pとなって、位相速度v_pで内部まで 入ることができる。このとき [(ω)/(v_p)]=[(2π)/(λ_g)]のような 波長λ_g が定まり

( 1 λg )2 + ( 1 λc )2 = ( 1 λ )2

(4.22)

となる。このλ_gを 管内波長 (guide wave length) という。従って上でのべたλ_c、f_cとは、 TM₀₁₀モード に対する限界であって、それぞれ しゃ断波長、 しゃ断周波数 (cutoff wave length, cutoff frequency) という。

線型加速の工夫

この困難を解決するのに2つの方法がある。 ひとつは 導波管内に円孔つき ヒダ (iris) を入れるのである。 このときヒダとヒダとの間には 強い電界が生ずるが、ヒダの位置(点線部) は電界からしゃへいされた場所となる。そこで 加速電界のときは粒子がヒダ間にあり、減速電界のときは 点線部に入るように設計すれば、 粒子はくり返し加速を受けることになる。

このようなヒダを導波管内に多数入れることは、 丁度尺八の管中に新たな壁を作るのと同じことで、 共振のあり方が大きく変わり TM₀₁₀よりは TM₀₁モードとなって進行波、反射波が混ざる。 しかしその中にうまく線型加速できるモードがあるので、 これを利用して加速を行なう。 ただ、ヒダつき導波管はあまり寸法が大きくなると 不利であるので、現在は管径10cm程度の電子線型加速器に 使われている。 ヒダつき導波管については、次にのべる。

第2の方法は、 小さな円筒電極を軸上に並べ、 減速電界がかかったときに粒子がこの電極内に入ってしゃへい されるようにする。この電極を ドリフト・チューブ (drift tube) という。これを入れると当然電界の様子が異なるが、 第1近似としてTM₀₁₀モードであるので、 ドリフト・チューブ間に強い電界が生じ、 線型加速ができる。この方式は専ら陽子や重イオン加速に使われており、 後で詳しくのべることにする。

最近の電子加速器では、ヒダつき導波管の欠点をドリフト・チューブ方式で 逃れるような工夫が行なわれている。

ヒダつき導波管

そこで、 ヒダを入れたばあいを考える。 いまヒダ間隔lを一定とする。 このとき、管内にはヒダ孔を通って進行する波と、 ヒダで反射する波とが共存するであろう。 従ってこの電波は一般的に

X=X0(r,θ,z)expj(ωt - βz)

(4.23)

と表わせる。X₀をフーリエ展開して

X0(r,θ,z) = ∞ ∑ n=-∞  An exp(-j 2πn l z)

(4.24)

となるから、(4.23)式に入れて

X(r,θ,z) = ∞ ∑ n=-∞  An expj{ ωt -(β+ 2πn l )z }

(4.25)

をえる。ここで

βn = β+ 2pn l , (-∞ < n < ∞)

(4.26)

とおくとき、(4.25)式 は v_pn=ω/β_n できまる無数の位相速度をもった電波が重なっていることを示す。 そして

vpn < 0 (n < 0)は反射波、vpn > 0 (n > 0)は進行波

を意味する。ここで進行波のv_pnをしらべて みると、すべてv_pn < c となっており、この中から粒子の速度に近いものを選ぶと加速に使用できる。 この原理は、海岸に寄せる大波のうち適当なものに 乗ってサーフィンをしつつ海岸に近づくのと同じである。

例としてf=3000MHz、λ = 10cmのマイクロ波が、 a=5cmの導波管に入るときをしらべてみよう。 (4.20)式 から、

λc= 2πa 2.405 =13.1 cm,従って λg = 15.6 cm > λ

vp = f λg = 4.68 ×1010 cm/s = 1.56c > c

となり、位相速度が光速度より速くなっている。 そこでl = 7.8cm (=λ_g/2)おきに ヒダを入れてみよう。 (4.26)式 より

bn = 0.403+0.806n cm-1, vpn= 1.56c 1+2n cm/s

であるから、n=-2,-1,0,1,2のばあいにつきv_pnを 求めると、次のようになる。

電子線型加速器

π型とは、上の計算例で示したように l = λ_g/2にとるのであり、 このとき各ヒダは +, -の電圧が交互に生じ、あたかも定在波のようになる。 これがπ型とよばれる理由である。 そして軸上の電界はヒダの間で強く、ヒダの位置に 電界がしゃへいされた部分ができる。従って電子は + → - の電界の場所で加速されて右方へ進むが、 逆電圧になったときは 点線のしゃへい部分に入る。結局電子群は空間的に集中して パルス状に加速される。

一方 λ_g/4ごとにヒダを入れるとき、 ヒダの励起電圧は++ - ++ ... のようになり、半波長ごとに電界のしゃへい部分ができる。 そして励起電圧は順に 変化し、あたかも右方に進行する形となる。そして この進行速度がちょうど 電子の速度と同じように 選べば、進行波型の電子加速器となる。これを π/2型とよんでいる。

導波管内のヒダは電波に対して抵抗の役割をするから、 左側から 管内に電波を送り込んでも、右方に行くと 次第に減衰する。ヒダの内径を2pとするとき

pが大きいと電波の減衰が少ないが、加速電界も弱い。

pが小さいと電波の減衰が大きいが、加速電界は強い。

との特徴がある。このことを考えてヒダの寸法を 決めるのであるが、実際上p ~ a/4に選ぶことが 多い。いま、加速管入口z=0での電波の電力を P₀とすると、管内各位置での電力P(z)は

P(z) = P0 exp(- z L0 )

(4.27)

のように減衰する。ここで、P、P₀はピーク値を示し。 またL₀を 減衰長 (attenuation length) という。

一方管内での平均電界強度[`E](z)は

- E   (z) = k λ πp2 √   P(z)   , k:定数

(4.28)

で与えられるから (4.27)式と組合わせて

- E   (z) = - E   0  exp(- z 2 L0 )

(4.29)

となるから、長さLの加速管によって電子のえる エネルギー、すなわち加速エネルギーKは

K = e ∫ L 0  - E   (z) dz = 2e - E   0  (1 - exp(- L 2 L0 ))

(4.30)

をえる。 (4.30)式は、Lが長くてもKが大きくなるとは 限らぬことがわかる。さらに[`E]₀は λ_p^-2に比例するから、 Kの値はp/λ、Lによっていろいろ変わる。

短い加速管で大きいエネルギーをえるには p/λを小さくしたほうがよく、逆に 長い加速管ではp/λを大きくしてL₀ を長くしている。

電子線型加速器の構造

ここで集束コイルの役割についてふれておこう。 後でのべるように高周波電界を利用する線型加速器では 位相安定性 (phase stability) が存在する。すなわち同期位相よりも外れた電子は、 次第にこの同期点に集中するとの性質がある。 しかしながらこのとき電子は加速されるごとに 発散力を受ける。つまり電子ビームの 集束性がない。これを補うために外部から z軸に平行な磁場を加えて集束させる。

電波のエネルギーの大半は 加速管の壁を温めるのに使われる。 つまりジュール熱として失われるのであり、 これを減らすのに超伝導材料が注目されている。 すなわち液体ヘリウムで0 K 近くまで冷やし、 超伝導加速管とするのであり、このときは ジュール熱損失がなくなる。

電子線型加速器の特徴と用途

K ≤ 8 MeV のものは電子ビームの直接照射、 強力なX線源として生物医学、工業的利用が 盛んに行なわれている。 K ≤ 30 MeV のものは 制動X線 (bremsstrahlung) によって(γ,n)反応が起きるので、強力な パルス中性子源 (pulse neutron source) として、中性子実験に不可欠な機器となっている。 また電子線を直接照射する化学、生物学実験にも よく使われる。エネルギーがもっと大きくなり K ≥ 400 MeV となると 中間子を発生することができるし、 また円形磁界中にとじこめて 紫外線源とすることもできる。 従って中間子実験や物性研究に使われるようになった。

このように電子線型加速器が発達した理由は、なんといっても 短い直線加速で大きな電流がとれること、電子ビームの 取出しが簡単であること、中性子実験が容易であることなどに よる。さらに加速管をつぎ足し、マイクロ波電力を追加していけば エネルギーが上がるとの利点がある。なおこの加速器は原理的に エネルギー固定であるが、実際はマイクロ波電力を 変えることによりある程度の巾でエネルギーが変えられる。 また多段式の加速管では、後段から順次加速を止めれば、 段階的にエネルギーを下げることができる。

最近、超高真空技術の発達により、加速管に更に大きな ピーク電力を供給できるようになった。一方ヒダつき加速管では どうしても奥へ行くほどマイクロ波電力が落ちるので、 ドリフト・チューブ方式に似た形に変わってきた。 その一つが 横壁結合管 (side-coupled tube) ともいうべきもので、マイクロ波は横壁の穴を通って 加速管の全長にわたって供給するようになっている。 こうして強い加速電界を管内に作り、一気にエネルギーを 上げていく。

表には3つの電子線型加速器を 比較して示してある。これらは試作的な器械であり、 これらの経験をもとにして、最近は格段に優れた 加速器が多数完成している。

イオン線型加速器の設計研究

βλ型の加速器は1946年にアルバレーが成功したもので、 TM₀₁₀モードの円形導波管内に小さなドリフト・ チューブを共軸に並べている。 このチューブによって多少電界が乱れるが、近似的に TM₀₁₀モードを保つことができる。 これをβλごとに取り出すとき 単位空洞の連結とみなされる。そしてどの 単位空洞も一定周波数fに共振して TM₀₁₀モードを作っているとともに、 イオンに対しても同じような加速条件をみたしていることに なる。

いま単位空洞の加速間隔gで、質量m、電荷eの イオンがどれだけのエネルギーをえるか考えてみよう。 間隙の中央を原点にとり、エネルギー増加を ΔKとすると

ΔK = eE0 ∫ g/2 -g/2  cos(ωt + φs) dz

(4.32)

ただし

E0: 加速電界のピーク値

φs: 電界ピーク時からみた粒子の位相=同期位相角

である。ところで

ωt = 2πf t = 2πf z v = 2π βλ = 2π l z,だからωt = 2π l z

(4.33)

であるから、 (4.32)の積分が実行できて

ΔK = eE0 g sin πg l πg l cosφs = e - E0   lT cosφs

(4.34)

ただし

- E0   = g l E0: 平均電界強度、T = sin πg l πg l : transit time factor

である。一方ΔK=mv Δvで あることを用いると (4.34)式は

Δv = e - E0   λ mc T cosφs

(4.35)

となる。従ってアルバレーの加速器とは、g/lが一定のとき、 各間隔で一定の速度増加をあたえる器械といえる。

1. f,Dをいくらに選ぶか。このときdはすこしずつ変わって行く。
2. g/lをいくらに選ぶか。またφ_sをいくらに決めるか。
3. E₀をいくらに選ぶか。
4. 最終エネルギーK、入射エネルギーをいくらにするか。

アルバレー型イオン線型加速器の実施例

g/l = 0.2 ~ 0.4に選ぶ。 g/l = 0.25にしたばあいT=0.90である。 また同期位相角φ_sは、電界が上昇しつつある側、 つまりφ_s < 0に選ぶ。 この位相より進んだイオンは加速電界が弱いので Δvが小さく、従って次の加速間隙では 位相が遅れてφ_sに近づく。 逆に遅れたイオンは強い加速電界を受けて Δvが大きくなり、 次の加速間隙では 位相が進んでφ_sに近づく。 こうしてイオンはφ_sのまわりを 位相振動しつつ φ_sに集中してくるが、その範囲は -φ_s > φ > 2φ_s である。 実際にはφ_s=-10 ~ -30 ^° に選ぶが、この例では φ_s=-25 ^° である。

表4.2はK=10MeVの陽子線型加速器の例である。 ここで最初の間隙には0.5MeVに予備加速された陽子が入る。 こうして

f=202.15 MHz, g/l = 0.25, φs=-25 °

E0=74.4 kV/cm, - E0   = 18.6 kv/cm

とするとき、 (4.35)式から各段の速度増加は

Δv=0.00264c, c:光速度

となるから、各段のg,l,Kなどが順次求まる。 そして∑ l = Lは加速管の全長をあたえるが、今のばあい

∑ l = L = 550 cm

となる。